A gúla térfogata és felszíne – amit tudnod kell!
A gúla térfogata és felszíne bizonyára mindenkinek feladja a leckét, aki a testek térfogatából fog matematika dolgozatot írni. Mit szoktak elvárni a tanárok ebben a témában? Mire számíthatunk a témazáróban, mik a legfontosabb képletek? Hogyan számítható ki a gúla térfogata és felszíne? Mik a gúla részei? Egyáltalán mi a gúla definíciója?
A gúla fogalma, rövid bemutatása
A gúla egy olyan test, melynek alapja egy n-oldalú sokszög, palástja pedig n darab háromszög. A palástháromszögek egy közös csúcsban találkoznak, mely nem esik egy síkba az alappal.
A gúlát rendszerint a szerint nevezik el, hogy az alapot adó sokszögnek hány oldala van. Például nyolcszög alapú gúla, négyszög alapú gúla. A háromszög alapú gúlát tetraérdenek nevezzük.
Ha egy gúla alaplapja szabályos sokszög, és az alaplapon nem található csúcsának az alaplapra merőleges vetülete az alap középpontját döfi át, akkor a gúla szabályos gúla.
A gúla lapjainak, éleinek és csúcsainak száma
Abban az esetben, ha egy gúla alapjának oldalainak száma n, akkor éleinek száma 2n. lapjainak és csúcsainak száma n+1.
A gúla térfogata
A gúla alapterülete úgy számítható ki, hogy az alapot összeszorozzuk a magassággal. Amennyiben T-vel jelöljük az alapterületet és m-el magasságot, akkor érvényes az alábbi összefüggés:
Egy gúla térfogatát pontosan úgy kell kiszámolni, mint egy tetraéderét – ahogy ezt a képlet is mutatja. Ennek az az oka, hogy a tetraéder is tulajdonképpen egy gúla. melynek az alapja egy háromszög.
A gúla felszíne
A gúla felszínét úgy kell kiszámolni, hogy összeadjuk az azt határoló sokszögek területét. Ez egy alaplapból tevődik össze, valamint a palástháromszögekből. Képletszerűen ez az alábbi módon fest:
Abban az esetben, ha a gúlába gömb írható, fennáll az alábbi összefüggés, ahol r a beírt kör sugara, V pedig a gúla térfogata, A pedig annak felszíne.
Vannak olyan gúlák, melyeknek van beírt gömbjük is. Ez esetben az alábbi összefüggést írhatjuk fel a beírt gömb sugarára, a térfogatra és a felszínre:
Speciális esetek
Amennyiben a gúla alapon nem fekvő csúcspontjai az alap szimmetriaközéppontja felett helyezkedik el, egyenes gúláról beszélünk.
Amennyiben egy egyenes gúla alapja szabályos sokszög, szabályos gúláról beszélünk.
A tetraéderek háromszög alapú gúlák.
Összefoglalás
Ha az iskolában szeretnél igazán jó érdemjegyeket kapni, akkor feltétlenül fontos, hogy tisztában legyél azzal, hogy mi a gúla, és hogy mik a legfőbb rá vonatkozó állítások. Szeretnél felkészülni a következő matek dolgozatodra? Akkor iratkozz be internetes tanfolyamunkra, melyet speciálisan gyerekeknek készítettünk!