·         ·    

A henger térfogata és felszíne – amit tudnod kell!

A henger már az ókori görögöket is elgondolkodtatta. Ugyanúgy definiálták ezt a testet is, ahogy a kockát, téglatestet, egyenes hasábot vagy a gömböt. Mik a legfontosabb, hengerrel kapcsolatos állítások, melyeket mindenkinek ismernie kell? Hiszen, ha azt szeretnéd, hogy a gimis felvételid jól sikerüljön, akkor tisztában kell lenned a hengerrel kapcsolatos legfontosabb állításokkal.

A henger fogalma, rövid bemutatása

Ha szeretnéd megérteni a henger fogalmát, akkor azt kell először megértened, hogy miképp kell a hengert származtatni. Vegyünk fel a síkon egy tetszőleges zárt síkidomot – ez lehet kör, téglalap, de akár bármilyen, speciális alakkal nem rendelkező síkidom is, ami zárt. Ennek síkját döfjük át egy egyenessel. Ezzel az egyenessel húzzunk párhuzamost a zárt síkidom minden pontján. Így kapunk egy hengerfelületet, amely a végtelenbe nyúlik. Amennyiben ezt a hengerfelületet elmetsszük egy, az eredeti síkkal párhuzamos síkkal, akkor egy zárt hengertérhez jutunk.

A „köznyelvben” a henger alatt mindenki egy olyan hengert képzel el, melyet itt az alábbi ábra szemléltet. Természetesen nem csupán olyan hengerek léteznek, melyek hasáb vagy kör alakúak, vagy olyanok, melyek egyenes hasábok.

Ha a síkon felvett síkidom zárt sokszög, akkor a hasáb hengerszerű hasáb.

Ha a döfő egyenes merőleges a síkra, akkor a hasáb egyenes hasáb.

Ha a síkon felvett síkidom kör, akkor a henger körhenger.

Az, amit a matematika órán szoktak megmutatni, mint hengert, az valójában egy egyenes körhenger – hiszen a döfő egyenes merőleges az alap síkra, az alap síkidom meg egy kör.

A henger térfogata

A henger térfogatát (egyenes körhenger) úgy határozhatjuk meg, hogy az alapkör területét összeszorozzuk annak magasságával. Az alapkör és a fedőkör egybevágó körök, melyek egymással szemben helyezkednek el, ezek adják a henger két határoló körét. Az egymással párhuzamos egyenesek által meghatározott felület pedig az alkotója a hengernek. A magasság az alapkörök távolsága.


A körhenger sugarát r-el szokás jelölni. Ez esetben a henger (körhenger) térfogata az alábbi képlettel adható meg:

A térfogat a henger alapkör területének és magasságának szorzata.

A henger felszíne

A henger (egyenes körhenger) felszínét úgy számíthatjuk ki, hogy az alapkör és fedőkör területéhet hozzáadjuk a palást felszínét.

Mivel az alapkör és fedőkörök egybevágóak, ezért területük egyenlő. A területük könnyedén kiszámítható a sugár ismeretében. A hengerpalást területe pedig egyenlő annak a téglalapnak a területével, melynek az oldalhosszai a henger magassága, valamint az alapkör kerülete. Mindebből következik, hogy az alábbi képlettel számítható ki a henger felszíne:

Néhány fontos állítás

Minden körhenger térfogata ugyanakkora, melynek az alapkörei egybevágóak, és magassága azonos hosszúságú. Ha az alábbi két ábrát szemléljük, a magasságok és a sugarak egyenlősége miatt a két henger térfogata egyenlő.

Egy egyenes körhengert az alapkörökre merőleges síkkal elmetszve a síkmetszet mindig téglalap lesz.

Adott felszín mellett a henger térfogata h=2r esetén maximális.

Adott térfogat mellett a henger felszíne h=2r esetén minimális.

Néhány példa a mindennapjainkban

A henger forma nagyon sok helyen megjelenik a mindennapjainkban. Lássunk néhány példát:

  • A fazék alajka
  • A talicska kereke
  • Alufólia tartó hengere

Összefoglalás

Ha ötöst szeretnél írni matematikából, akkor fejből is kell tudnod a henger térfogatszámító és felszínszámító képletét. Később az érettségin ott lesz melletted a négyjegyű függvénytáblázat, azonban rendkívül értékes perceket lehet megspórolni azzal, ha valaki ezeket az egyszerű képleteket megtanulja fejből is.

Szeretnél beiratkozni online tanulófelületünkre, melyet direkt általános iskolások számára alkottunk meg?

Mit nyújt a MatekNet?

A MatekNet Magyarország egyik legnagyobb látogatottságú matekos portálja, ahol különféle témákban lehet olvasni cikkeket.